图1为裂隙-基质介质中微生物和溶质运移模型示意图。模型为二维轴对称，微生物和溶解氧通过裂隙左侧以固定流速注入，而污染物被固定在基质中，设裂隙宽度为2B，平行裂隙系统之间的距离为2H。此外，模型的其他基本假设还包括：1) 微生物和溶解氧均可扩散入基质中；2) 基质完全饱和、均质、各向同性，且分子扩散是基质的主要传输机制，对流忽略不计；3) 微生物分为游离相和吸附相，二者具有相似的表面特征和成长特征；4) 微生物仅将溶解氧和污染物作为生长消耗项，前者为微生物提供电子受体，后者提供电子供体；5) 不考虑基质中污染物和溶解氧的吸附^[15]。

微生物自身特性 (如形状大小、生长状态、趋化性) 、多孔介质特性 (如土颗粒大小、含水率、渗透系数) 和环境因素 (如pH值、温度、离子浓度) 都与微生物运移关系密切，因此在进行微生物运移建模时需进行一定程度的简化和假设。微生物在多孔介质内的运移可以简化归为基本的对流扩散，吸附和自身的生物过程。其中裂隙中游离相微生物可表示为：

式中：C_mf是裂隙中游离相微生物的质量浓度 (kg·m⁻³) ；$ {v}_{p} $是裂隙内流动速度 (m·s⁻¹) ；$ {D}_{m} $是微生物扩散系数 (m²·s⁻¹) ；$ {Q}_{\mathrm{m}\mathrm{f}}^{{\mathrm{s}}} $是裂隙中游离相微生物的动力学传质速率 (kg·m⁻³·s⁻¹) ；$ {Q}_{\mathrm{m}\mathrm{f}}^{\mathrm{g}} $和$ {Q}_{\mathrm{m}\mathrm{f}}^{\mathrm{d}} $分别是裂隙中游离相微生物的生长和衰亡速率 (kg·m⁻³·s⁻¹) 。

当微生物在多孔介质中迁移时，会通过吸附/解吸过程在游离相和吸附相之间转换。静电吸引或排斥、范德华吸引力、疏水作用、偶极力和氢键是控制微生物在多孔介质界面上吸附的主要力量。前人一般将多孔介质中微生物的吸附过程考虑呈可逆或不可逆的平衡或动力学过程，本研究采用考虑吸附位点的一级动力反应式来表达：

式中：k_att和k_dtt分别为微生物吸附和解吸系数 (s⁻¹) ；$ {S}_{\mathrm{m}\mathrm{f}} $为裂隙中吸附相微生物的质量浓度 (kg·m⁻³) ；$ {\rho }_{\mathrm{m}} $为微生物质量密度 (kg·m⁻³) ；$ {\psi }_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}} $为吸附点位系数，在裂隙中其值设为1。

微生物对有机或无机化合物的利用可以通过多种方式表示，其中Monod动力学被广泛地用于描述微生物代谢过程中所需组分的利用速率。本文采用改进的双底物Monod方程来描述微生物的生长率，而微生物的衰亡过程则可视为一级动力学过程。因此，裂隙内游离相微生物的生长项和衰亡项如下：

式中：$ {\mu }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $为微生物的最大比生长速率 (s⁻¹) ；$ {C}_{\mathrm{o}\mathrm{f}} $和$ {C}_{\mathrm{c}\mathrm{f}} $分别为裂缝水中溶解的氧气和污染物浓度 (kg·m⁻³) ；$ {K}_{\mathrm{o}} $和$ {K}_{\mathrm{c}} $分别为溶解氧和污染物的半饱和常数 (kg·m⁻³) ，其值等于微生物比生长速率为最大值一半时营养液的浓度；$ {k}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}} $为微生物的衰亡系数 (s⁻¹) 。

将式(2)~(4)代入式(1)可得裂隙中游离相微生物的运移传输方程为：

吸附相微生物也同样经历生长和衰亡过程。若假设游离相微生物的生长和衰亡参数$ {\mu }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $、$ {K}_{\mathrm{o}} $、$ {K}_{\mathrm{c}} $和$ {k}_{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}} $同时适用于吸附相^[16]，则裂隙中吸附相微生物的运移方程可表示为：

式中：式(6)右边的四项分别代表微生物的吸附、解吸、生长和衰亡。

考虑分子扩散和吸附点位系数$ {\psi }_{\mathrm{p}\mathrm{s}\mathrm{i}} $与吸附量相关的Lagrange函数，基质中游离相微生物的运移传输方程为：

式中：$ {C}_{\mathrm{m}\mathrm{m}} $为基质中游离相微生物的质量浓度 (kg·m⁻³) ；$ {C}_{\mathrm{o}\mathrm{m}} $和$ {C}_{\mathrm{c}\mathrm{m}} $分别为基质孔隙水中溶解氧和污染物的水相浓度 (kg·m⁻³)；$ {S}_{\mathrm{m}\mathrm{m}} $为基质中吸附相微生物的质量浓度 (kg·m⁻³) ；$ {\sigma }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} $为最大吸附系数。

基质中吸附相微生物的运移传输方程可表示为：

本研究将氧看作溶解性组分，在裂隙-基质环境下运移时会被作为电子受体被微生物代谢消耗，溶解氧的消耗速率表示为：

式中：$ {Y}_{\mathrm{o}} $为溶解氧产出系数，表示消耗单位溶解氧可生成的微生物量的比值。

因此，裂缝中溶解氧的运移传输方程可表示为：

式中：$ {D}_{\mathrm{o}} $为溶解氧的扩散系数 (m²·s⁻¹) 。

基质中溶解氧的运移传输方程可表示为：

本研究将污染物也假定为溶解性组分，但不考虑其在固相的吸附。因此，裂缝和基质中溶解态污染物的运移传输方程可表示为：

式中：$ {Y}_{\mathrm{c}} $为污染物产出系数，表示消耗单位污染物可生成的微生物量的比值；$ {D}_{\mathrm{c}} $为污染物的扩散系数 (m²·s⁻³) 。

首先对前一节介绍的传输模型进行验证。由于目前尚无关于裂隙-基质介质中微生物和溶质混合反应迁移的实验数据，本研究选取2个室内微生物运移柱实验来验证本模型微生物运移的合理性。第一个实验^[9]，土柱长30 cm，入口处先注入微生物培养液1 h，然后注入去离子水进行驱替，流速为0.02 mm·s⁻¹。图2(a)对比了本模型计算结果与该实验数据，可以看出两者的游离相微生物浓度规律较为一致。第二个实验^[17]，土柱内长17 cm，内径3.3 cm，入口处先注入20 mL大肠杆菌液，然后注入背景溶液进行驱替，流速为0.42 cm·min⁻¹。图2(b)对比了本模型计算结果与该实验数据，可以看到两者的突破浓度曲线也较为一致。因此，通过数值模拟结果与两组实验数据的对比，很好的验证了本模型的合理性和正确性。

针对研究问题进行具体工况的计算。本研究数值模型由一组微生物、溶解氧和污染物传输的偏微分方程组成，采用COMSOL的自定义偏微分方程模块建立方程组并进行求解，以模拟生物强化技术中沿裂隙注入微生物和电子受体来修复污染土壤的过程。该二维轴对称模型包括两个区域：裂隙和基质，以及8种成分：裂缝中游离的微生物、裂缝表面吸附的微生物、基质孔隙游离的微生物、基质吸附的微生物、裂缝中的溶解氧、基质中的溶解氧、裂缝中的溶解态污染物、基质中的溶解态污染物。裂缝-基质界面的连续性是以通量和浓度连续为条件，并通过在每个时间步迭代解来获得的，采用隐式有限差分格式进行数值求解。由于裂缝的流动与管道流动非常相似，假设裂隙孔隙率为100%。表1列出了裂缝-基质中微生物修复的相关参数。为了便于计算，微生物、溶解氧和污染物的扩散系数视为相同，同时注入的微生物和溶解氧浓度设为1 mg·L⁻¹，污染浓度也设为1 mg·L⁻¹。

图3给出了沿裂隙持续注入 (40 d) 微生物和溶解氧后不同溶质浓度的时空分布。可以看到，在注入开始时 (1 d内) ，微生物主要分布在裂缝注入口附近。之后，微生物逐渐扩散到基质中，虽然注入口附近仍然浓度不变，但相邻基质内微生物的运移范围逐渐变大。20 d后微生物的扩散范围基本不变且浓度变化不大，表明由于微生物生长所需的底物 (污染物) 被消耗殆尽，在吸附、解吸附以及生长衰亡等多种物化生物作用下微生物的运移逐渐达到平衡状态。溶解氧随同微生物一起被注入污染场地，其分布云图如图4所示。与微生物相比，溶解氧的运移十分迅速，在注入的前10 d，溶解氧主要是沿着裂缝快速移动，之后逐渐向基质内部扩散；第40 d时，溶解氧已经几乎充满整个基质。由此可见，溶解氧和微生物的运移具有很大的区别，溶解氧的运移范围远远比微生物大，浓度也高的多，因此在本模拟工况下几乎可以忽略溶解氧运移的影响 (溶解氧不会成为微生物运移和降解活动的限制条件) 。

图5给出了场地污染物浓度空间分布随修复菌剂注入时间的变化。可以看出，首先是在裂缝入口处附近的污染物由于受到微生物降解被去除，随后周边的污染物由于浓度梯度向裂隙入口逐渐扩散移动并被微生物继续降解，导致生物修复实际影响范围随着时间的增加而渐渐扩大。当注入20 d后，整体修复率可以达到58.9%；注入40 d后，基质内污染物已经基本得到去除，修复率达到93.8%。

微生物在基质中运移主要呈现为受孔隙介质制约的布朗运动，微生物的扩散程度与基质孔隙度、孔隙大小和菌体大小密切相关，当基质孔隙度很大时，基质扩散系数也随之变高。为了便于研究介质孔隙特性对生物强化的影响，本研究假设微生物与溶质扩散系数相同，结果如图6所示。可以发现，基质介质扩散系数的增大会显著提高含裂隙污染地层中污染物的去除率。例如，当扩散系数为10⁻⁶ m²·s⁻¹时，仅通过12 d就能达到100%去除率；而当扩散系数为10⁻⁸ m²·s⁻¹时，40 d的修复率不足10%。由此可见，污染地层中基质扩散系数是影响生物强化修复效率的关键因素。

当多孔介质的孔隙明显大于细胞大小时，微生物滞留在介质的主要机制是吸附。SCHIJVEN等^[21]发现在微生物迁移过程中平衡吸附可以忽略不计。因此，采用一阶吸附动力学模型来表征微生物的吸附特性，其中k_att是表征吸附速率的常数。图7描述了吸附系数k_att对污染修复效率的影响。结果表明，随着k_att的增加，地层内污染物的修复率不断降低，当k_att从1 d⁻¹上升到5 d⁻¹时，修复效率的降低最为明显，说明微生物的强吸附会延缓微生物在介质中的运移范围，从而减少微生物能够利用的底物，降低了修复效率。

在实际工程应用中，微生物菌液注入速度是一个非常很重要的设计参数。图8给出了不同注入速度条件下污染地层的修复效率。结果表明，修复率随着注入速度的加快而变高，随着注入速度由0.1 m·d⁻¹增加到1 m·d⁻¹ (注入浓度为1 mg·L⁻¹)，第40 d的修复率从90%上升到100%。但是，注入速度并不是越大越好，越大意味着更大的注入压力，即修复成本和技术难度的增加，并且可能会影响微生物的活性。值得注意的是当注入速度高于0.5 m·d⁻¹ 时，修复率随注入速度的增加而造成的增幅明显减小，因此对于本模拟工况来说，注入速度超过0.5 m·d⁻¹之后再提高注入速度意义不大。对于其他某一特定工况，也可能存在一个临界速度，注入速度高于临界速度时注入速度对修复效率影响不显著，因此实际工程中注入时推荐选择临界速度作为注入速度。

1) 注入微生物后，微生物运移逐渐达到平衡并主要聚集在入口附近的基质中，而注入的溶解氧可快速沿裂隙均匀分布并逐渐向基质内扩散，基质内的污染物随着时间被逐渐去除，在污染物反向扩散的作用下生物修复的实际影响范围可能要比微生物的运移范围大。

2) 对于本研究情景中的裂隙污染地层生物强化修复，微生物基质扩散系数的变化对污染物生物修复效果有着显著影响，微生物吸附系数和注入速度的变化也对污染物生物修复效果有一定影响。提高强化生物修复效率的关键是提高微生物和污染物的接触程度。