1 数值模拟

1.1 几何模型

对方形水池进行建模模拟。如图1和图2所示，搅拌池边长L=2.5 m，高度H=1.75 m，双曲面搅拌器直径D=0.5 m，双弧面上均匀分布着8条导流叶片，搅拌器底面到池底的距离为安装高度C=0.4 m，4种不同型式结构的双曲面搅拌器分别为实心、空心、有孔和高叶片双曲面搅拌器。

图1 搅拌池几何模型

Fig.1 Geometric model of stirred tank

图2 双曲面搅拌器的4种几何模型

Fig.2 Four different geometric models of hyperboloid stirrer

1.2 流体力学模型

1.2.1 控制方程

流体的流动遵循质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律^[8]。双曲面搅拌器在搅拌时依靠桨叶的旋转带动流体产生漩涡流，池内的流场属于典型的湍流状态。本研究忽略温度对流场的影响，将流体视为不可压缩流体，湍流模型采用标准k-ε模型^[9,10]。

对于搅拌流场内的不可压缩流体，连续方程为：

动量方程为：

标准k-ε模型的湍动能k方程：

标准k-ε模型的耗散率ε方程：

式中：u_i为沿i方向的速度分量，m·s^-1；x_i、x_j为使用张量指标形式表示连续方程的x；ρ为流体密度，kg·m^-3；P为压力，N；F_i为沿i方向的质量力，N；v为流体的运动黏性系数，m²·s^-1；k为湍动能，J；ε为湍流动能耗散率；G_k表示由平均速度梯度引起的湍流动能k的产生项；G_b是由于浮力影响引起的湍动能k的产生项；Y_M为可压缩湍流脉动膨胀对扩张的贡献；C_1ε，C_2ε为经验常数；C_3ε为可压流体流动计算中与浮力相关的系数；σ_k为湍流动能对应的普朗特数；σ_ε为耗散率对应的普朗特数；湍流黏性系数可表示为：

当流体不可压缩时，S_k=0，S_ε=0，G_b=0，Y_m =0，故标准k-ε模型可进行简化，本研究使用的是简化后的k-ε模型。在FLUENT中，作为默认值常数，C_1ε=1.44，C_2ε=1.92，C_μ=0.09。湍动能k与耗散率ε的湍流普朗特数分别为σ_k=1.0，σ_ε=1.3。

1.2.2 多重参考系模型

多重参考系模型(MRF)因其计算区域的网格在计算的过程中并不会发生运动，所以也被称为冰冻转子方法^[11]。它是目前应用较多的多运动参考系模型，作为稳态求解方法，可以对独立的计算区域制定不同的旋转或平移速度。

如图3所示，以本研究中的模型为例，采用MRF将计算域分成2个部分：搅拌桨区域和桨外区域。对于桨外区域采用静止坐标系，搅拌桨区域采用运动参考系。2部分网格之间要求彼此独立，在交界面处于相对静止^[12]。

图3 多重参考系模型

Fig.3 Multiple reference frame model

1.3 网格划分

应用ANSYS Workbench的网格模块Mesh对计算域进行网格划分，采用非结构化的四面体网格对几何模型进行网格划分，并对搅拌桨区域进行网格加密以提高计算的精度，对4种不同结构模型分别采用3套网格进行了网格无关性分析，计算域的体积加权平均速度改变量不超过5%。以高叶片结构为例，总网格数为6 406 698个。

1.4 求解方法

运用多重参考系法对搅拌桨与搅拌池的相对运动进行模拟，选用标准k-ε湍流模型进行数值求解，压力基求解器中的耦合算法选用COUPLED算法，计算的时候需要的内存是分离基求解器的1.5倍，一般在计算单相流动的时候会比SIMPLE算法收敛快。所有变量的收敛残差小于1×10^-3。选择单相水作为流体，温度为298 K，密度为998.2 kg·m^-3，黏度为1.003×10^-3 kg·(m·s)^-1，压力为1.013×10⁵ Pa。

1.5 边界条件

整个计算域分为搅拌桨区域和桨外区域2个部分。搅拌桨区域采用旋转坐标系，该区域内的液体和搅拌桨转速相同，沿搅拌轴正方向进行轴向转动。桨外区域采用静止坐标系，模拟稳态流场。在搅拌池的流场中，设定搅拌池的底面和周面为壁面wall，液体表面为自由液面，定义为边界out，搅拌桨区域和桨外区域的接触面定义为界面interface，以便进行速度和压力的插值计算。

2 结果讨论

2.1 宏观流场结构

在转速为200 r·min^-1的工况下，选择搅拌器所在的纵截面为研究对象，图4为4种型式结构的双曲面搅拌器在搅拌池中形成的速度云图，其中红色区域代表高速区。由图4可知，越靠近搅拌器边缘，流速越大。由图4(a)可知，实心结构的双曲面搅拌器在搅拌池底部形成大面积的搅拌死区，搅拌范围小。由图4(b)和(c)可知，空心和有孔结构使搅拌池底部流场的湍动增强，搅拌范围增加，但在搅拌池底部仍然存在小面积的低速区。实心、空心和有孔结构的搅拌器在池内形成的流场均不对称，这是由于本研究是基于多重参考系法开展的，该模拟方法是一种工程中采用的旋转机械简化模拟手段^[13,14]，控制方程在内部旋转区域会增加一个动量源项，采用该方法产生叶片旋转带来的流体扰动效果与物理模型几何边界特征的协同作用导致了不对称的流场分布。由图4(d)可知，高叶片结构的双曲面搅拌器在搅拌池底部存在小面积的低速区，但相较于前3种结构，高叶片结构形成的流场更对称，底部湍动更强烈，搅拌范围更广。

图4 搅拌池内的速度云图

Fig.4 Velocity cloud plots in stirred tank

图5为4种型式结构的双曲面搅拌器在搅拌池中形成的速度矢量图。由图5可知，液体在池壁的反射作用下，形成自下而上的循环水流。这是因为在双弧面上的导流叶片借助液体自重压力获得的势能与叶轮旋转时产生的离心力形成动能，使液体在重力加速度的条件下沿叶轮圆周方向作切线运动。由图5(a)、(b)和(c)可知，实心、空心和有孔结构的双曲面搅拌器底部存在2个不成形但连续的漩涡，连续的漩涡之间相互影响，前一个漩涡区域中的低速区在后一个漩涡区域中形成混合区，促进产生混沌混合，搅拌器底部混合均匀。但由于漩涡小且不成形，涡流扩散范围受到局限，全流场的搅拌效果不佳。由图5(d)可知，高叶片结构的双曲面搅拌器底部存在2个不连续的环状漩涡，结合速度云图，2个漩涡之间存在搅拌死区。但正是由于搅拌器底部存在大涡结构，增强搅拌器下方流体的湍动性能，促进局部范围的涡流扩散，扩大搅拌范围，提高搅拌池内的混合效果。

图5 搅拌池内的速度矢量图

Fig.5 Velocity vector plots in stirred tank

通过对4种不同型式结构双曲面搅拌器宏观流场结构的对比，结果表明，实心结构的双曲面搅拌器在搅拌池底部存在大面积搅拌死区，全流场搅拌范围小。空心和有孔的结构能够增大搅拌器底部速度梯度，减少搅拌池底部边缘处的搅拌死区。高叶片结构的双曲面搅拌器在搅拌池内形成对称的流场，底部湍动强烈，搅拌范围最广。

2.2 速度分布

结合搅拌池内流体的速度分布情况，对搅拌时的流场状态进行了定量分析。图6为转速=200 r·min^-1时，以搅拌器下方为零基准面，4种不同结构的双曲面搅拌器分别在z=-0.2、0、0.2和0.4 m 4个截面上流体速度沿径向位置的变化曲线。

图6 搅拌池内速度沿径向的变化

Fig.6 Change of velocity along radial distance in stirred tank

由图6(a)可知，在z=-0.2 m截面处，高叶片双曲面搅拌器从搅拌池边缘向搅拌中心位置的速度波动较大。这是因为在搅拌器底部形成2个明显的漩涡，造成速度波动，产生速度梯度。相比于实心、空心和有孔结构，高叶片双曲面搅拌器在x=-0.25 m处速度急剧下降，并在x=-0.25 m至x=0.25 m处速度远远低于其他结构，最小速度为0.14 m·s^-1，分别比其他3种结构在相同位置处降低了2.63、2.63和2.92倍，但在大部分区域的速度均有明显的提高。在清水中，当流体的流速达到0.15 m·s^-1时，判定为达到搅拌效果^[15]。实心结构在x=0.37 m至x=1.25 m处速度均低于0.15 m·s^-1，因此实心结构在搅拌器底部存在大面积搅拌死区。

由图6(b)可知，在z=0 m截面处，空心、有孔和高叶片的双曲面搅拌器在x=-0.25 m至x=0.25 m处产生速度，其最大速度分别为5.17、5.21和5.22 m·s^-1，搅拌器边缘处的速度比在中心处的速度分别提高了7.85、7.81和8.03倍。这3种结构的速度沿径向位置的变化规律均呈“先升高后降低、随后再升高再降低”的对称分布，速度梯度很大，在搅拌器边缘处形成明显的湍流。

由图6(c)可知，在z=0.2 m截面处，实心、空心、有孔和高叶片4种结构的双曲面搅拌器速度沿径向位置的变化规律类似，从搅拌中心向搅拌池边缘处速度急剧变化，且均呈对称分布，速度梯度大。在x=-0.25 m至x=0.25 m处，越靠近搅拌器的位置，湍动越大，搅拌边缘处速度相较于搅拌中心处分别提高了8.24、7.73、7.91和6.79倍。

由图6(d)可知，在z=0.4 m截面处，实心、空心和有孔结构的双曲面搅拌器在径向位置的速度最大值相较于搅拌中心分别提高了0.57、0.38和0.46倍，但速度梯度不大，速度变化较为平缓，表明此种结构对于搅拌器上方的搅拌能力较弱。高叶片的双曲面搅拌器在径向位置的速度明显高于其他3种结构，搅拌中心处速度最大为0.19 m·s^-1，相较于前3种结构分别提高了0.52、0.51和0.53倍。

通过比较在不同高度截面上4种不同型式结构双曲面搅拌器的速度分布变化，可知在z=0 m和z=0.2 m 2个截面处，4种型式结构的速度分布差别不大，型式结构对流场的影响主要体现在搅拌池底部流态和搅拌器上方的搅拌范围2个方面。实心结构的双曲面搅拌器在搅拌池底部存在大面积搅拌死区；实心、空心和有孔结构的双曲面搅拌器在搅拌器上方搅拌能力弱，搅拌混合区域小；高叶片结构的双曲面搅拌器在搅拌器底部和上方均具有明显优势，搅拌池内物料混合效果最好。

2.3 湍流动能分布

图7为转速=200 r·min^-1时，4种型式结构的双曲面搅拌器在z=-0.2 m截面处湍流动能沿径向位置的分布变化。通过比较可知，4种型式结构的双曲面搅拌器湍流动能变化规律类似，均呈四周大、涡心处小的环状分布。实心、空心和有孔3种结构的湍流动能较低，搅拌池底部湍动不强烈，混合效果不佳。高叶片结构的湍流动能明显大于其他3种结构，搅拌池底部湍动强烈，混合效果最好。但是高叶片结构在x=-0.25 m至x=0.25 m处的湍流动能较低。结合宏观流场结构分析可知，大涡结构可促进湍流的生成与发展，增加湍流强度，故限制或抑制大涡的形成会降低搅拌效果，但不连续的大涡结构又会促进生成低速区，形成搅拌死区。

图7 搅拌池内湍流动能沿径向的分布

Fig.7 Distribution of turbulence kinetic energy along radial distance in stirred tank

2.4 有效搅拌体积

实验研究和工程实例表明，在清水中，当流体的流速达到0.15 m·s^-1时，判定为达到搅拌效果^[16]，因此本研究设定流速≥0.15 m·s^-1的流体体积作为双曲面搅拌器的有效搅拌体积。全流场有效搅拌体积大并不代表池底混合搅拌效果好，为更直观地定量分析池底的混合效果，以搅拌器底部为零基准面，z=0 m截面以下为池底部分，利用Fluent UDF模块进行编程计算，最终得出流速在0.15 m·s^-1以上的流体体积分别占池底和整个流场体积的百分比。计算公式分别为：

式中：η₁为池底有效搅拌比，%；η₂为整个搅拌池的有效搅拌比，%；V₁为池底流速≥0.15 m·s^-1的流体体积，m³；V₂为整个搅拌池内流场流速≥0.15 m·s^-1的流体体积，m³；V₀为池底体积，m³；V为搅拌池体积，m³。

有效搅拌比的计算结果如表1所示。从表1可以看出，当转速为200 r·min^-1时，实心、空心和有孔结构的搅拌器在池底和整个流场中的有效搅拌体积相差不大，有效搅拌体积小，混合效果不佳。高叶片结构的搅拌器在池底的有效搅拌比高达76%，分别比实心、空心和有孔结构提高了0.75、0.75和0.78倍，可以预期在实际应用中，该结构的搅拌器在池底不易产生污泥沉积，池底搅拌效果最好。

2.5 功耗特性

搅拌功率是对搅拌器电机进行选型的重要依据，搅拌功率的大小不仅是衡量搅拌池内搅拌程度和流体运动状态的重要依据，也是表征搅拌过程中所需能量消耗的参数^[17]。搅拌池的尺寸、物料特性、搅拌器的型式结构、安装高度以及有无挡板等因素都能影响搅拌功率的大小。搅拌功率P₁和单位能耗P的计算公式分别为：

式中：n为转速，r·min^-1；M为搅拌器所受的总力矩，N·m；M=M₁+M₂，M₁是由搅拌器压力梯度产生的力矩，M₂是由搅拌器黏性力产生的力矩。

通过模拟得到力矩值，通过计算得到单位能耗，结果如表2所示。从表2中可以看出，当转速为200 r·min^-1时，高叶片结构的力矩和单位能耗最高。结合有效搅拌体积分析，虽然高叶片结构产生的单位能耗分别比前3种结构提高了0.36、0.31和0.31倍，但是该结构在池底的有效搅拌体积分别比前3种结构提高了0.75、0.75和0.78倍，在全流场的有效搅拌体积分别比前3种结构提高了0.85、1.13和1.12倍，因此，达到搅拌要求流体(v≥ 0.15 m·s^-1)的单位能耗仅为前3种结构的74.09%、61.19%和61.88%，具有明显的节能效果。

3 结论

1) 空心和有孔结构在优化池底流态方面效果最好，该结构增大搅拌器底部速度梯度，增强底部流体湍动，无搅拌死区；高叶片结构在扩大全流场搅拌范围、增加有效搅拌体积方面效果最好，该结构促进形成对称且均匀分布的流场，底部湍动强烈，全流场搅拌范围广，有效搅拌体积大，搅拌池内混合效果和搅拌效率高。

2) 在转速为200 r·min^-1时，高叶片结构的双曲面搅拌器底部湍动最强烈，池底和全流场有效搅拌体积最大，混合效果最佳，且具有明显的节能效果，该结构达到搅拌要求流体(v≥ 0.15 m·s^-1)的单位能耗，分别为前3种结构的74.09%、61.19%和61.88%。

3) 从池底流态、搅拌范围和节能效果3个方面对4种不同型式结构的双曲面搅拌器进行综合对比，其搅拌效果由好到差依次为高叶片双曲面搅拌器>有孔双曲面搅拌器>空心双曲面搅拌器>实心双曲面搅拌器。

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